NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c’est-à-dire qu’ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers: il en est ainsi du rapport de la diagonale d’un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n’a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (V^e s. avant J.-C.) a établi qu’un entier qui n’est pas le carré d’un entier n’est pas non plus le carré d’un nombre rationnel. Le dixième livre des Éléments d’Euclide est consacré à l’étude et à la classification des grandeurs irrationnelles rencontrées dans les constructions géométriques.

Les recherches sur les équations algébriques ont toujours été inséparables de problèmes touchant la nature des solutions de ces équations. Durant le XVIII^e siècle, il fut établi que les n racines d’une équation algébrique de degré n à coefficients réels étaient des nombres complexes (cf. nombres COMPLEXES). On appelle maintenant nombre algébrique tout nombre complexe qui est racine d’une équation algébrique à coefficients rationnels : ainsi 連2, racine de l’équation x ² 漣 2 = 0, ou bien i , racine de l’équation x ² + 1 = 0, ou encore e ²ⁱ size=1^神/n , racine de x ⁿ 漣 1 = 0, sont des nombres algébriques; au contraire e , 神, log 2 ou i ⁱ ne sont pas des nombres algébriques (cf. nombres TRANSCENDANTS).

1. Équations diophantiennes

Les problèmes de théorie des nombres conduisant à résoudre des équations de degré 閭 2 ont progressivement montré la nécessité d’étudier les propriétés arithmétiques des nombres algébriques et de bâtir ainsi une extension de l’arithmétique élémentaire. Le premier de ces problèmes est probablement celui qu’Euler a improprement attribué à Pell: il s’agit de résoudre en nombre entiers x et y l’équation x ² 漣 Dy ² = 梁 1, où D est un entier positif donné, sans facteur carré. Euler remarqua très tôt que cette équation peut encore s’écrire:

et que, par suite, si (x , y ) en est une solution, on en tire une infinité d’autres (u , v ) en calculant (x + y 連D)ⁿ = u + v 連D pour tout n 捻 N (cf. équations DIOPHANTIEN- NES). L’équation x ³ + y ³ = z ³ a fourni à Euler une autre occasion d’exploitation arithmétique de nombres irrationnels (imaginaires cette fois); pour établir que cette équation n’a pas de solution non triviale en nombres entiers (c’est un cas particulier du «dernier théorème de Fermat»), Euler (1770) se fonde sur le fait, admis sans démonstration, que, si p et q sont des entiers premiers entre eux tels que (p + q 連漣 3)(p 漣 q 連漣 3) = p ² + 3q ² soit un cube, alors chacun des deux facteurs imaginaires p 梁 q 連漣 3 est le cube d’un nombre complexe de la même forme.

Périodes

Un autre type de nombres algébriques apparaît dans la dernière section des Disquisitiones arithmeticae de Gauss (1801; cf. C. F. GAUSS), où se trouve élaborée la théorie de l’équation de la division du cercle en n parties égales, avec n premier impair. Si r est l’une des racines imaginaires de cette équation, les autres sont r ², r ³, ..., r ^n-1 , et Gauss introduit certaines sommes partielles de ces racines, qu’il appelle périodes , et qui sont solutions d’équations de degrés inférieurs: si f est un facteur de n 漣 1 et si est un entier quelconque, la période (f ,) de longueur f est, par définition, la somme:

où h est un entier premier à n tel que h ^f 令 1 (mod n ) mais que h ^a 令/ 1 (modn ) si 1 諒 a 諒 f 漣 1; la période ne dépend pas du choix de h vérifiant ces propriétés, et on obtient un tel h en posant h = g ^e , où g est une racine primitive modulo n ^{[cf. DIVISIBILITÉ]} et e = (n 漣 1)/f . Il y a e périodes distinctes de longueur f , correspondant à = 1, g , g ², ..., g ^e-1 (sans compter (f , 0) = f ), qui sont les racines d’une équation de degré e à coefficients entiers; ensuite, les f racines rh ^a qui constituent la période (f ,) sont les racines d’une équation de degré f dont les coefficients sont des combinaisons linéaires à coefficients entiers de 1 et des e périodes de longueur f . Gauss établit que le produit de deux périodes de longueur f est une combinaison linéaire du type précédent: ces combinaisons forment donc un sous-anneau du corps C des nombres complexes ^{[cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES]}; de plus, si p est une période de longueur f , les autres s’expriment par des polynômes en p (de degré au plus e 漣 1) à coefficients rationnels. Lorsque e = 2, les deux périodes de longueur m = (n 漣 1)/2 sont (m , 1) et (m , g ), et elles sont construites avec h = g ²; la première est la somme des r ^a avec a résidu quadratique modulo n et la seconde la somme des r ^b avec b non résidu ^{[cf. DIVISIBILITÉ]}. Gauss montre que l’équation dont les racines sont ces deux périodes est x ² + x 梁 益 = 0 si n = 4 益 梁 1; le discriminant de cette équation est 梁 n , dont la racine carrée est donc la valeur de la différence des deux périodes:

où (/n ) est le symbole de Le Gendre. Les expressions du type:

(puisque r size=1^凞 = 0) et leurs généralisationsmodn sont appelées sommes de Gauss ; elles jouent un grand rôle en théorie des nombres, et Gauss lui-même en tira deux démonstrations de la loi de réciprocité quadratique (la quatrième, 1808, et la sixième, 1818). Si l’on précise la racine r choisie, par exemple r = e ²ⁱ size=1^神/n , il convient de préciser aussi celle des deux racines carrées de 梁 n qui donne la valeur de la somme de Gauss, et ce problème arrêta Gauss pendant longtemps ^{[cf. GAUSS (C. F.)]}. En notant z = 0 et z = 0 les deux équations de degré m dont les racines sont respectivement les r ^a (a résidu quadratique modulo n ) et les r ^b (b non résidu), on a:

et Gauss en déduit que:

où Y = 2 x ^m + x ^m-1 + ... et Z = x ^m-1 + ... sont des polynômes en x à coefficients entiers; si p est un nombre premier 令 1 (mod n ), et si x ⁿ 令 1 (mod p ) (mais x ^s 令/ 1 (mod p ) si 1 諒 s 諒 n 漣 1), on a donc Y² 令 梁 n Z² (mod p ) et (face=F0019 梁n /p ) = 1, ce qui donne un cas particulier de la loi de réciprocité ^{[cf. DIVISIBILITÉ]}.

Lorsque e = 3, les périodes p , p et p de longueur m = (n 漣 1)/3 sont (m , 1), (m , g ) et (m , g ²), et ce sont les racines d’une équation du troisième degré x ³ + x ² 漣 mx 漣 (a ² 漣 bc ) = 0, où a , b et c sont des entiers tels que pp = bp + cp + ap ; ces entiers a , b , c sont aussi les nombres de solutions (x , y ) modulo n pour les congruences x ³ + 1 令y ³ (mod n ), avec = 1, g ou g ², et Gauss montre que 4n = (6a 漣 3 b 漣 3 c 漣 2)² + 27 (b 漣 c )². Ainsi, le quadruple d’un nombre premier n de la forme 3 m + 1 est représenté par la forme quadratique x ² + 27 y ² (cf. formes QUADRATIQUES); comme il est facile de voir qu’une telle représentation est unique, elle donne, inversement, un moyen de déterminer les entiers a , b et c .

Lien avec les fonctions elliptiques

La théorie des fonctions elliptiques (cf. FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire) est une autre voie par laquelle les nombres algébriques sont intervenus en mathématiques: si face=F9828 p est une fonction elliptique de Weierstrass, on sait en général exprimer face=F9828 p(nu ) par une fonction rationnelle de face=F9828 p(u ) et de face=F9828 p (u ) lorsque n est entier; mais, pour certains modules, dits «singuliers», on a encore une telle expression pour n = a 梁 i 連b , avec a et b entiers convenables (b 閭 0). Lorsque cela se produit, on dit que la fonction elliptique admet de la multiplication complexe; Gauss a rencontré cette situation dès la fin du XVIII^e siècle, à propos de la fonction elliptique x = sl u («sinus lemniscatique») qui inverse l’intégrale:

(son module J vaut 1; cf. C. F. GAUSS); comme sl (iu ) est égal à i sl u , la fonction sl admet de la multiplication complexe par tous les entiers de Gauss m + ni , où m , n 捻 Z. Abel (1828) a utilisé cette multiplication complexe pour établir que l’équation algébrique dont les racines sont les nombres sl( 諸/p ), où p est un nombre premier de la forme 4 k + 1 et 諸 est l’une quelconque des périodes de la fonction sl, est résoluble par radicaux; dans ce cas, p = m ² + n ² est le produit de deux entiers de Gauss m 梁 in (cf. théorie des NOMBRES - Théorie analytique des nombres), et Abel montre que la méthode de Gauss pour la division du cercle s’applique à l’équation dont les racines sont:

Réciprocité biquadratique

Les mêmes entiers de Gauss donnent le cadre où l’on peut étudier la loi de réciprocité biquadratique , qui relie la résolubilité des deux congruences x ⁴ 令 p (modq ) et x ⁴ 令 q (modp ), où p et q sont des nombres premiers. Dans un article de 1832, Gauss développe l’arithmétique de ces entiers généralisés, qui repose sur un algorithme de division analogue à celui d’Euclide pour les entiers ordinaires: si a et b sont des entiers de Gauss, avec b 0, il existe des entiers de Gauss q («quotient») et r («reste») tels que a = bq + r et que, de plus, N(r ) 麗 N(b ), où N désigne la norme , définie par:

(cf. DIVISIBILITÉ). Lorsque le reste r est nul, on dit que b divise a ; les unités , entiers de Gauss qui divisent 1, sont les quatre nombres 梁 1 et 梁 i (racines quatrièmes de 1), et deux entiers de Gauss sont dits associés si l’un est le produit de l’autre par une unité. Exactement comme pour les entiers ordinaires, on établit l’existence du plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers de Gauss, avec une identité de Bezout ; on appelle nombre premier de Gauss un entier de Gauss qui n’est pas une unité et qui n’est divisible que par ses associés et par les unités, et on voit qu’un tel nombre ne peut diviser un produit de facteurs sans diviser l’un d’eux. Il en résulte que tout entier de Gauss se décompose d’une manière essentiellement unique en produit de facteurs premiers de Gauss («essentiellement» veut dire ici «à l’ordre près des facteurs et à une multiplication près par une unité»). Les nombres premiers ordinaires se classent en trois catégories: 2 = i (1 漣 i )², qui est associé au carré du nombre premier de Gauss 1 漣 i et se trouve seul dans sa catégorie; les nombres premiers 令 3 (mod 4), qui restent premiers dans les entiers de Gauss; enfin, les nombres premiers p 令 1 (mod 4), qui s’écrivent comme somme de deux carrés p = m ² + n ² = (m + in )(m 漣 in ) et se décomposent donc, dans les entiers de Gauss, en produit de deux facteurs m 梁 in , tous les deux premiers. Gauss introduit un symbole:

pour la réciprocité biquadratique analogue à celui de Le Gendre pour la réciprocité quadratique: p étant un nombre entier de Gauss et q un entier de Gauss non divisible par p ,

est l’unité i ^k 令 q ^{(N(p )-1)/4} (mod p ) (0 諒 k 諒 3), et il vaut 1 exactement dans le cas où la congruence x ⁴ 令 q (mod p ) a une solution. La loi de réciprocité énoncée par Gauss (et démontrée par Jacobi et Eisenstein) s’énonce alors: si p et q sont des nombres premiers de Gauss non associés à 1 漣 i , on a:

La démonstration de Jacobi (1836) utilise des «sommes de Jacobi», intimement liées à certaines sommes de Gauss; Eisenstein (1845) a donné d’autres démonstrations fondées sur la multiplication complexe de la fonction elliptique sl (dont l’une est inspirée par une démonstration qu’il avait trouvée pour la loi de réciprocité quadratique, et qui utilisait la formule qui donne sin nx en fonction de sin x ). Jacobi et Eisenstein ont étudié de même la loi de réciprocité cubique, qui donne des renseignements sur la résolubilité d’une congruence x ³ 令 m (mod p ) (p nombre premier ordinaire, m 捻 Z); il faut remplacer i par la racine cubique imaginaire:

de 1, et se placer dans le cadre des nombres de la forme m + nj avec m , n 捻 Z. Ces nouveaux nombres ont encore des propriétés arithmétiques analogues à celles des entiers ordinaires, car ils admettent un algorithme de division euclidienne relatif à la norme N(m + nj ) = (m + nj )(m + nj ²) = m ² 漣 mn + n ²; il y a six unités 梁 1, 梁 j et 梁 j ² qui sont les valeurs possibles du symbole permettant d’exprimer la loi de réciprocité cubique.

«Dernier théorème de Fermat»

Avant les travaux de Kummer (cf. infra ), deux nouveaux cas du «dernier théorème de Fermat» ont été établis par Dirichlet, Legendre et Lamé ; il s’agit de l’impossibilité de résoudre en nombres entiers non triviaux l’équation x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ pour n = 5 (Dirichlet, Le Gendre, 1825) et pour n = 7 (Dirichlet, Lamé, 1839). Sophie Germain avait montré que, dans ces deux cas, l’exposant n divise nécessairement l’un des nombres x, y ou z ; pour le cas n = 5, Dirichlet utilise les nombres algébriques de la forme m + n 連5, avec m , n 捻 Z, et il établit que, si m et n sont premiers entre eux dont l’un est pair, si n est multiple de 5 et si m ² 漣 5 n ² = (m + n 連5) (m 漣 n 連5) est une puissance cinquième, alors m + n 連5 est la puissance cinquième d’un nombre algébrique de la même forme. Pour le cas n = 7, on utilise une propriété analogue des nombres algébriques de la forme m + n 連漣 7 avec m , n 捻 Z.

En 1847, Lamé crut avoir une démonstration du dernier théorème de Fermat pour tout exposant n 閭 3: il décomposait x ⁿ + y ⁿ en n facteurs x + r ^a y , avec 0 諒 a 諒 n 漣 1 et r racine n -ième de l, et admettait que, dans le cas où x et y sont premiers entre eux, chacun de ces facteurs devait être une puissance n -ième s’il en est ainsi de leur produit x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ . Comme Liouville le reconnut aussitôt, la décomposition unique en facteurs premiers pour les nombres de la forme a ⁰ + a ¹r + ... + a ^n-1 r ^n-1 (a ⁱ 捻 Z), que Lamé admettait implicitement, n’était pas forcément justifiée. Il se trouve que Kummer, qui étudiait ces nombres depuis 1843, avait publié dès 1844 un article dans lequel il montrait que la décomposition unique en facteurs premiers n’a pas lieu pour n = 23.

L’intérêt de Kummer pour les «entiers cyclotomiques» du type ci-dessus provenait sans doute autant de son désir de généraliser les lois de réciprocité connues que d’efforts pour démontrer le dernier théorème de Fermat. Cependant, sa théorie lui fournit une démonstration dudit théorème pour toute une classe d’exposants n premiers, qu’il appela réguliers; le plus petit nombre premier irrégulier est 37 (malheureusement, on ne sait pas s’il existe une infinité de nombres premiers réguliers).

2. Les «nombres idéaux» de Kummer

Entiers cyclotomiques

Considérons, avec Kummer, un nombre premier impair et une racine-ième imaginaire 見 de 1; ainsi:

L’équation de degré 漣 1 précédente est irréductible sur le corps Q des nombres rationnels, donc les nombres 1, 見, 見², ..., 見 size=1^凞-2 sont linéairement indépendants sur Q; les entiers cyclotomiques correspondant à sont les nombres de la forme:

où a ⁰, a ¹, ..., a size=1^凞-2 捻 Z, c’est-à-dire les éléments du sous-anneau Z[ 見] de C engendré par 見. Il résulte des remarques précédentes que l’écriture d’un entier cyclotomique sous la forme f ( 見), polynôme en 見 de degré 諒 漣 2 à coefficients entiers, est unique (il n’en serait pas de même avec des polynômes de degré 諒 漣 1 qu’il est parfois utile d’introduire). L’anneau Z[ 見] des entiers cyclotomiques ne dépend pas du choix de 見 parmi les racines-ièmes imaginaires de 1, puisque toutes ces racines sont les puissances de l’une d’elles; à l’entier cyclotomique f ( 見), on associe ses conjugués f ( 見²), f ( 見³), ..., f ( 見 size=1^凞-1) et sa norme Nf ( 見) = f ( 見) f ( 見²) ... f ( 見 size=1^凞-1), qui est un entier ordinaire car elle ne change pas lorsqu’on remplace 見 par une de ses puissances. Comme 見^j et 見 size=1^凞-j sont complexes conjugués, f ( 見^j )f ( 見 size=1^凞-j ) est réel positif, et Nf ( 見) est donc un entier positif; on vérifie facilement que la norme est multiplicative: N(f ( 見)g ( 見)) = Nf ( 見) 練 Ng ( 見). On dit qu’un entier cyclotomique f ( 見) en divise un autre h ( 見) s’il existe un entier cyclotomique g ( 見) tel que h ( 見) = f ( 見)g ( 見); on dit que h ¹( 見) et h ²( 見) sont congrus modulo f ( 見), et on écrit h ¹( 見) 令 h ²( 見) (mod f ( 見)), si h ¹( 見) 漣 h ²( 見) est divisible par f ( 見). Kummer appelle unités les entiers cyclotomiques dont la norme est 1, c’est-à-dire ceux qui divisent 1; par exemple les 見^j sont des unités, de même que les quotients:

(avec 1 諒 j 諒 漣 1), car N(1 漣 見^j ) = (1 漣 見^j )(1 漣 見^2j ) ... (1 漣 見⁽ size=1^凞-1)j ) est la valeur, pour x = 1, du polynôme (x 漣 見^j ) ... (x 漣 見⁽ size=1^凞-1)j ) = 1 + x + x ² + ... + x size=1^凞-1, ce qui donne N(1 漣 見^j ) = indépendamment de j . Des calculs précédents, on titre aussi:

ainsi se décompose, dans l’anneau des entiers cyclotomiques, en le produit de (1 漣 見) size=1^凞-1 par une unité.

On dit qu’un entier cyclotomique h ( 見) est premier s’il n’est pas une unité et s’il ne peut diviser un produit f ( 見)g ( 見) sans diviser l’un des facteurs f ( 見) ou g ( 見); si h ( 見) est premier, il en est de même de ses conjugués h ( 見^j ) et des produits de ces conjugués par des unités. Par exemple, 1 漣 見 est premier: en effet, si 1 漣 見 divise un entier rationnel m , = N(1 漣 見) divise Nm = m size=1^凞-1, c’est-à-dire que divise m (puisque est premier) et, inversement, les multiples de sont divisibles par 1 漣 見; si 1 漣 見 divise f ( 見)g ( 見), c’est-àdire f ( 見)g ( 見) 令 0 (mod (1 漣 見)), comme 見 令 1 (mod (1 漣 見)), on a f (1)g (1) 令 0 (mod (1 漣 見)), donc f (1) ou g (1) est divisible par et, par suite, f ( 見) 令 0 ou g ( 見) 令 0 (mod (1 漣 見)). Soit h ( 見) un entier cyclotomique de norme; le nombre premier cyclotomique 1 漣 見 divise Nh ( 見), donc divise l’un de ses facteurs h ( 見^j ) (1 諒 j 諒 漣 1), et, comme Nh ( 見^j ) = Nh ( 見) = = N(1 漣 見), le quotient est une unité: h ( 見) est donc encore premier et c’est le produit d’un des conjugués de 1 漣 見 par une unité.

Considérons maintenant un entier cyclotomique h ( 見) dont la norme soit un nombre premier q ; ainsi q = Nh ( 見) 令 h (1) size=1^凞-1 (mod (1 漣 見)), d’où, d’après ce qui précède q 令 h (1) size=1^凞-1 令 1 (mod) (théorème de Fermat; cf. DIVISIBILITÉ). On voit comme cidessus que les entiers rationnels divisibles par h ( 見) sont les multiples de q ; pour continuer le raisonnement et montrer que h ( 見) est premier, on va prouver qu’il existe un entier rationnel u tel que 見 令 u (mod h ( 見)), et on lui fera jouer le rôle que jouait 1 pour 1 漣 見. Posons i = (q 漣 1)/ et k = 塚ⁱ , où 塚 est une racine primitive modulo q ; la congruence x size=1^凞 令 1 (mod q ) a pour solutions x 令 1, k , k ², ..., k size=1^凞-1 (mod q ), donc x size=1^凞-1 + x size=1^凞-2 + ... + x + 1 令 (x 漣 k )(x 漣 k ²) ... (x 漣 k size=1^凞-1) (mod q ). On en déduit facilement que h (k )h (k ²) ... h (k size=1^凞-1) 令 0 (mod q ), puisque Nh ( 見) = q ; par suite, q divise l’un des nombres h (k ^j ) et le polynôme h (x ) est divisible modulo q par x 漣 k ^j . On prend u = k ^j , de sorte que h ( 見^m ) est divisible modulo q par 見^m 漣 u pour 1 諒 m 諒 漣 1, et ( 見 漣 u )h ( 見²)h ( 見³) ... h ( 見 size=1^凞-1) est divisible modulo q par:

lui-même divisible par q = h ( 見)h ( 見²) ... h ( 見 size=1^凞-1); cela prouve bien que 見 漣 u est divisible par h ( 見). Il en résulte alors que, si h ( 見) divise f ( 見)g ( 見), il divise f (u )g (u ) qui est donc un multiple de q ; ainsi q divise f (u ) ou g (u ), ce qui signifie que h ( 見) divise f ( 見) ou g ( 見): on voit donc que h ( 見) est premier. Si h ¹( 見) est un autre entier cyclotomique de norme q , h ( 見), qui divise q , divise l’un des conjugués de h ¹( 見), et le quotient est de norme 1; ainsi, h ¹( 見), qui est aussi premier, est le produit d’un des conjugués de h ( 見) par une unité. Les différents facteurs premiers h ( 見), h ( 見²), ..., h ( 見 size=1^凞-1) trouvés pour q dans les entiers cyclotomiques sont essentiellement distincts, c’est-à-dire qu’aucun d’eux n’en divise un autre; si en effet h ( 見^j ) divisait h ( 見^m ), de 見^j 令 u (mod h ( 見^j )) on tirerait 見^j 令 u 令 見^m (mod h ( 見^m )), donc q = Nh ( 見^m ) diviserait N( 見^j 漣 見^m ) = N(1 漣 見^m-j ), ce qui exige m 令 j (mod) (sinon N(1 漣 見^m-j ) =).

Kummer a fait des calculs systématiques de nombres premiers cyclotomiques h ( 見) de norme un nombre premier rationnel q , et des entiers u correspondants, en prenant de petites valeurs de. Par exemple, pour = 5, 見 + 2 a pour norme 11, 見 漣 2 a pour norme 31, etc.; pour = 7, 漣 見⁴ + 見² + 1 a pour norme 29 et divise 見 + 13, 見 + 2 a pour norme 43, etc. Ses tables donnent, pour 諒 19, les facteurs premiers cyclotomiques de tous les nombres premiers q 令 1 (mod) inférieurs à 1 000. Pour = 23, on voit que 47 n’est la norme d’aucun entier cyclotomique, et n’admet donc aucun diviseur premier cyclotomique; cependant:

et on calcule que N(1 漣 見 + 見^-2) = 47 練 139 et N( 見¹⁰ + 見^-10 + 見⁸ + 見^-8 + 見⁷ + 見^-7) = 47², 47 étant le produit de la moitié des conjugués de ce dernier nombre. On en déduit deux décompositions distinctes de 47 練 139 en produits d’entiers cyclotomiques irréductibles, mais non premiers. L’idée des «facteurs premiers idéaux» de Kummer consiste à associer à 見 漣 4 un tel facteur: par définition, un entier cyclotomique f ( 見) est divisible par ce facteur si f (4) est divisible par 47, mais le facteur lui-même n’existe pas en tant que nombre.

Si h ( 見) est un nombre premier cyclotomique quelconque, il divise Nh ( 見), donc l’un des facteurs premiers rationnels q de cet entier; montrons que les entiers rationnels divisibles par h ( 見) sont exactement les multiples de q : si h ( 見) divise l’entier m , il divise le P.G.C.D. (m , q ) qui vaut 1 (exclu car h ( 見) n’est pas une unité) ou q , et par suite q divise m . Lorsque q , on a q size=1^凞-1 令 1 (mod) par le théorème de Fermat; soit f le plus petit entier 閭 1 tel que q ^f 令 1 (mod). On sait que f est un diviseur de 漣 1; le cas f = 1 a été traité ci-dessus, et nous allons examiner le cas général en cherchant des entiers cyclotomiques congrus à des entiers rationnels modulo h ( 見). D’après le théorème de Fermat, on a:

en prenant x = f ( 見) entier cyclotomique tel que f ( 見^q ) = f ( 見), donc f ( 見) = f ( 見^q ) 令 f ( 見)^q (mod q ), on voit que h ( 見) divise l’un des facteurs f ( 見) 漣 u , c’est-à-dire que f ( 見) 令 u (mod h ( 見)). La transformation 見 料 見^q laisse invariantes les e = ( 漣 1)/f périodes 兀⁰, 兀¹, ..., 兀^e-1 de longueur f , et il existe donc des entiers rationnels u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 tels que 兀ⁱ 令 u ⁱ (mod h ( 見)) pour 0 諒 i 諒 e 漣 1; autrement dit, l’équation de degré e (à coefficients entiers rationnels) dont les solutions sont les périodes de longueur f se décompose complètement modulo q en (x 漣 u ⁰)(x 漣 u ¹) ... (x 漣 u ^e-1 ).

Pour qu’un entier de la forme a ⁰ + a ¹ 兀¹ + ... + a ^e 兀^e ( 兀^e = 兀⁰, les indices des périodes sont pris modulo e ), avec a ⁰, a ¹, ..., a ^e 捻 Z, soit divisible par h ( 見), il faut et il suffit que a ⁰ + a ¹u ¹ + ... + a ^e u ^e soit divisible par q ; chacun des entiers cyclotomiques formés des périodes 兀ⁱ est congru modulo h ( 見) à un unique entier rationnel appartenant à [0, q 漣 1]. Comme 見 est racine d’une équation de degré f à coefficients formés des périodes de longueur f , tout entier cyclotomique écrit d’une manière unique sous la forme 祥( 兀) + 見祥¹( 兀) + ... + 見^f-1 祥^f-1 ( 兀), où les coefficients 祥^j ( 兀) sont formés des périodes de longueur f , et il est donc congru modulo h ( 見) à un unique entier cyclotomique de la forme b ⁰ + b ¹ 見 + ... + b ^f-1 見^f-1 , où les coefficients b ^j sont des entiers rationnels de l’intervalle [0, q 漣 1]; les q ^f entiers cyclotomiques ainsi décrits forment donc un système de représentants des classes modulo h ( 見). Les entiers u ⁱ au moyen desquels on peut tester la divisibilité par h ( 見) sont liés par des relations modulo q qui proviennent des relations entre les périodes: si 兀ⁱ 兀^j = a ⁰ + a ¹ 兀¹ + ... + a ^e 兀^e , on doit avoir u ⁱ u ^j 令 a ⁰ + a ¹u ¹ + ... + a ^e u ^e (modq ).

Considérons maintenant un nombre premier rationnel q quelconque, et soit f le plus petit entier 閭 1 tel que q ^f 令 1 (mod); on pose encore e = ( 漣 1)/f . Il se peut que q ne soit divisible par aucun nombre premier cyclotomique, comme nous l’avons vu dans le cas où = 23 et q = 47; mais on peut encore démontrer que l’équation de degré e dont les racines sont les périodes de longueur f se décompose modulo q en e équations de degré 1, et les e entiers rationnels, racines modulo q de ces congruences, vont permettre de définir une relation de congruence dans les entiers cyclotomiques, si on les associe convenablement aux e périodes de longueur f . Pour ce faire, on considère les entiers cyclotomiques u 漣 兀ⁱ , avec u entier rationnel tel que:

soit divisible par q (0 諒 u 諒 q 漣 1), et on forme un produit, noté 切( 兀), de tels nombres avec des u et des 兀ⁱ choisis tels que 切( 兀) ne soit pas divisible par q , mais que, pour tout i , il existe u ⁱ tel que (u ⁱ 漣 兀ⁱ ) 切( 兀) 令 0 (mod q ); l’entier rationnel u ⁱ est déterminé d’une manière unique par cette condition, car si on en avait deux, u ⁱ et u , on aurait (u ⁱ 漣 u ) 切( 兀) 令 0 (mod q ), avec u ⁱ 漣 u / 令 0 (mod q ), donc inversible modulo p , ce qui donnerait 切( 兀) 令 0 (mod q ). Soit F( 兀⁰, 兀¹, ..., 兀^e-1 ) = 0 une relation polynomiale quelconque (à coefficients entiers) entre les périodes; on tire de ce qui précède que F(u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) 切( 兀) 令 0 (mod q ), d’où F(u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) 令 0 (mod q ), puisque F(u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) est un entier rationnel et que 切( 兀) / 令 0 (mod q ). Kummer associe à la suite (u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) un «nombre premier idéal» divisant q , qui n’est pas du tout un nombre, mais bien une relation d’équivalence entre entiers cyclotomiques, pour laquelle chaque période 兀ⁱ de longueur f est équivalente à l’entier rationnel u ⁱ correspondant. Cela détermine entièrement la relation d’équivalence, si on lui impose d’être compatible avec la structure d’anneau des entiers cyclotomiques (addition et multiplication; cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES); explicitement, des entiers cyclotomiques sont équivalents si leurs produits par 切( 兀) sont congrus modulo q . On montre encore que les q ^f entiers cyclotomiques b ⁰ + b ¹ 見 + ... + b ^f-1 見^f-1 , avec 0 諒 b ^j 諒 q 漣 1 pour j = 0, 1, ..., f 漣 1, forment un système de représentants des classes pour la relation d’équivalence considérée, et qu’un produit d’entiers cyclotomiques ne peut être équivalent à 0 sans que l’un des facteurs le soit: autrement dit, l’anneau quotient est intègre et, comme il est fini, c’est un corps à q ^f éléments.

Le groupe de Galois de l’équation dont les racines sont les e périodes de longueur f est formé des permutations circulaires de ces périodes ^{[cf. CORPS]}; on peut donc transformer la suite (u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) par permutations circulaires, ce qui définit en tout e «nombres premiers idéaux» divisant q . On peut vérifier qu’ils sont tous distincts, et que ce sont les seuls possibles; en ce sens, q se trouve décomposé, dans les entiers cyclotomiques, en e = ( 漣 1)/f facteurs premiers distincts, tous conjugués, mais pouvant être idéaux: pour qu’un entier cyclotomique soit divible par q , il faut et il suffit qu’il soit divisible par chacun des e facteurs de q , c’est-à-dire équivalent à 0 pour chacune des e relations d’équivalence correspondantes. Par exemple, le nombre 切( 兀) qui a servi à construire (u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) est divisible par tous les facteurs de q sauf celui qui est associé à (u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ). Notons que, lorsque f = 漣 1, c’est-à-dire lorsque q est une racine primitive modulo, e = 1 et q reste premier dans les entiers cyclotomiques.

On précise la définition des «nombres premiers idéaux» en spécifiant avec quelle multiplicité ils divisent tel ou tel entier cyclotomique. Soit, comme plus haut, 切( 兀) un entier cyclotomique formé des périodes de longueur f et divisible par tous les facteurs d’un nombre premier rationnel q d’ordre f modulo, sauf celui qui correspond à une suite (u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) d’entiers rationnels; on définit une valuation v sur l’anneau des entiers cyclotomiques en posant:

(cf. algèbre TOPOLOGIQUE). Lorsque le facteur de q associé à (u ⁰, u ¹, ..., u ^e-1 ) est un vrai nombre premier cyclotomique h ( 見), les nombres de valuation n sont ceux qui sont divisibles par h ( 見)ⁿ mais pas par h ( 見)ⁿ⁺¹ . La théorie de Kummer consiste en définitive à remplacer les nombres premiers cyclotomiques, qui n’existent pas toujours, par des valuations; au moyen de ces valuations, on peut énoncer un critère de divisibilité pour les entiers cyclotomiques, qui joue le rôle de la décomposition en facteurs premiers lorsque celle-ci est possible.

Théorème. Soit f ( 見) et g ( 見) deux entiers cyclotomiques. Pour que f ( 見) divise g ( 見), il faut et il suffit que, pour toute valuation v associée à un «nombre premier idéal», on ait v (f ( 見)) 諒 v (g ( 見)).

La condition est évidemment nécessaire, car les valuations v ne prennent que des valeurs positives sur les entiers cyclotomiques; pour voir qu’elle est suffisante, on observe que f ( 見)|g ( 見) équivaut à Nf ( 見)|g ( 見)f ( 見²)f ( 見³) ... f ( 見 size=1^凞-1), donc on peut se ramener au cas où f ( 見) est un entier rationnel, en ajoutant v (f ( 見²) ... f ( 見 size=1^凞-1)) à v (f ( 見)) et à v (g ( 見)). On décompose alors f ( 見) en un produit p ¹p ² ... p ⁿ de nombres premiers rationnels (non nécessairement distincts), et on se ramène, par récurrence sur n , à montrer que la propriété est vraie pour f ( 見) = q , nombre premier rationnel, ce qu’on a déjà vu plus haut.

En résumé, un «nombre premier idéal» Q est défini par la donnée d’un nombre premier rationnel q et d’une correspondance convenable entre les e périodes de longueur f (ordre de q modulo) et les racines modulo q de l’équation de degré e qui donne ces périodes; il faut ajouter à cela le nombre premier exceptionnel 1 漣 見, unique diviseur de avec la multiplicité 漣 1. À l’entité Q, on associe une valuation v ^Q sur l’anneau des entiers cyclotomiques; si v ^Q(f ( 見)) 閭 1, on a f ( 見) 令 0 (mod q ) (et inversement), donc Q divise Nf ( 見), qui est ainsi multiple de q : on a donc v ^Q(f ( 見)) = 0 sauf pour un nombre fini de Q qui divisent les facteurs premiers rationnels de Nf ( 見). À l’entier cyclotomique f ( 見), on associe le symbole:

que l’on appelle le diviseur de f ( 見), et on voit, grâce au théorème précédent, que deux entiers cyclotomiques n’ont le même diviseur que si l’un est le produit de l’autre par une unité (pour une unité e ( 見), on a v ^Q(e ( 見)) = 0 quel que soit Q). D’une manière générale, on appelle diviseur un symbole P^{1n 1}P^{2n 2} ... P^{k n k} , où P¹, P², ..., P^k sont des «nombres premiers idéaux» (que l’on peut identifier aux valuations correspondantes v ^Pi ) et n ¹, n ², ..., n ^k 捻 N; on peut multiplier entre eux les diviseurs (mais pas les additionner), et la multiplication est une loi commutative et associative admettant comme élément neutre le diviseur (1) des unités. Si A est un diviseur, on note encore v ^Q(A) l’exposant du «nombre premier idéal» Q dans A; à deux diviseurs A et B, on associe un diviseur P.G.C.D. (A, B), pour lequel:

quel que soit Q. Par exemple un «nombre premier idéal» P, facteur d’un nombre premier rationnel q , s’écrit comme le P.G.C.D. (q , 祥( 兀)) des diviseurs (q ) et ( 祥( 兀)), où 祥( 兀) est un entier cyclotomique formé de périodes de longueur f (ordre de q modulo) tel que v ^P( 祥( 兀)) = 1 et v ^Q( 祥( 兀)) = 0 pour les autres facteurs idéaux Q de q ; il est facile de construire un tel 祥( 兀) en utilisant le nombre 切( 兀) introduit plus haut et ses conjugués.

Soit 靖 un automorphisme de conjugaison des entiers cyclotomiques, défini par une substitution 見 料 見^j ; on fait opérer 靖 sur les diviseurs en posant 靖(P^{1n 1}P^{2n 2} ... P^{k n k ) =} size=1^{靖(P1)n 1} 靖(P²)^{n 2} ... 靖(P^k )^{n k} , et 靖(P) = (p , 靖祥( 兀)) si P = (p , 祥( 兀)). La norme d’un diviseur A est le diviseur NA = A 練 靖(A) ... 靖 size=1^凞-2(A), où 靖 est un automorphisme de conjugaison défini par 見 料 見 size=1^塚, 塚 racine primitive modulo; on voit facilement que c’est le diviseur d’un entier rationnel que l’on note encore NA. L’entier NA s’interprète encore comme le nombre de classes d’entiers cyclotomiques pour la congruence modulo A, en définissant f ( 見) 令 g ( 見) (mod A) par la condition: A divise (f ( 見) 漣 g ( 見)); pour le voir, on se ramène, grâce à une généralisation du théorème des restes chinois (cf. équations DIOPHANTIENNES), au cas où A = Pⁿ est une puissance d’un diviseur premier P = (p , 祥( 兀)), et on établit, par récurrence sur n , que tout entier cyclotomique est congru modulo Pⁿ à un nombre de la forme:

où les a ⁱ sont des entiers cyclotomiques déterminés d’une manière unique modulo P. Ainsi le nombre de classes modulo Pⁿ est la puissance n -ième du nombre de classes modulo P, et on est ramené à n = 1, soit A = P; alors P a seulement e conjugués distincts (p , 靖^j 祥( 兀)), avec 0 諒 j 諒 e 漣 1, qui sont répétés chacun f fois, et le produit de ces conjugués est p : on a donc NP = p ^f qui est bien le nombre de classes modulo P. Le cas où P = 1 漣 見 est à part; il y a = N(1 漣 見) classes modulo (1 漣 見), représentées par 0, 1, ..., 漣 1.

Classes de diviseurs

Les diviseurs premiers ont été définis comme facteurs de nombres premiers rationnels; par suite, tout diviseur A divise un nombre véritable: il existe un diviseur C tel que AC soit le diviseur d’un entier cyclotomique. On appelle principaux les diviseurs d’entiers cyclotomiques. Considérons des diviseurs A, B, C tels que AC et BC soient principaux, et soit D un diviseur tel que AD soit principal; on a donc AC = (f ( 見)), BC = (g ( 見)) et AD = (h ( 見)), et on voit, en se servant du théorème du chapitre précédent, que f ( 見) divise g ( 見)h ( 見) dont le diviseur est ACBD. Le quotient est un entier cylotomique de diviseur BD, qui est donc encore principal; si, donc, pour un diviseur C, AC et BC sont tous deux principaux, alors AD et BD sont principaux en même temps pour un diviseur quelconque D. Selon Kummer, on dit que les diviseurs A et B sont équivalents s’il existe un diviseur C tel que AC et BC soient principaux; les diviseurs principaux sont ceux qui sont équivalents au diviseur (1). La relation d’équivalence est compatible avec la multiplication des diviseurs: si A¹ (resp. A²) est équivalent à B¹ (resp. B²), A¹A² est équivalent à B¹B², car si A¹A²C est principal, il en est de même de B¹A²C = A²B¹C (A¹ équivalent à B¹), donc aussi de B²B¹C (A² équivalent à B²). Pour chaque diviseur A, il existe un diviseur C tel que AC soit équivalent à l’élément neutre (1) de la multiplication; par suite, la multiplication des diviseurs induit, sur l’ensemble des classes de diviseurs, une structure de groupe commutatif , dont l’élément neutre est la classe des diviseurs principaux.

Un théorème fondamental de Kummer affirme que le groupe des classes de diviseurs est fini . Sa démonstration repose sur deux lemmes.

Lemme 1. Il n’y a qu’un nombre fini de diviseurs de norme inférieure à un entier M fixé.

On a en effet N((1 漣 見)^{n 0}P^{1n 1}P^{2n 2} ... P^{k n k} ) =^{n 0}p ^{1f 1n 1}p ^{2f 2n 2} ... p ^{k f k n k} size=1^{諒 M, donc les p i et les n i ne peuvent prendre qu’un nombre fini de valeurs; chaque p i n’a qu’un nombre fini e i de facteurs premiers idéaux, donc les Pi ne prennent qu’un nombre fini de valeurs, ce qui démontre le lemme.}

Lemme 2. Soit 猪 = ( 漣 1)/2; pour tout diviseur A, il existe un diviseur C de norme 諒 size=1^猪 tel que AC soit principal.

Soit en effet c le plus petit entier tel que (c + 1) size=1^凞 size=1^{漣 1} 閭 NA + 1; les entiers cyclotomiques a ¹ 見 + a ² 見² + ... + a 漣 1 見 size=1^凞 size=1^{漣 1} tels que 0 諒 a ⁱ 諒 c (i = 1, ..., 漣 1) sont en nombre supérieur à NA, donc il y en a deux qui sont congrus modulo A et on prend pour AC le diviseur de la différence de ces deux nombres, qui s’écrit b ¹ 見 + b ² 見² + ... + b size=1^凞 size=1^{漣 1} 見 size=1^凞 size=1^{漣 1} = f ( 見) avec |b ⁱ | 諒 c . On a:

(inégalité de la moyenne géométrique, applicable aux nombres réels f ( 見ⁱ )f ( 見^-i )), et on calcule facilement que:

donc:

et:

d’où Nf ( 見) 諒 size=1^猪c size=1^凞 size=1^漣1 諒 size=1^猪NA d’après le choix de c , ce qui signifie que NC 諒 size=1^猪.

En appliquant ces lemmes, on voit qu’il existe un nombre fini de diviseurs C¹, C², ..., C^m tels que, pour tout diviseur A, l’un des AC^j (1 諒 j 諒 m ) soit principal; donc il y a au plus m classes de diviseurs distinctes.

3. Unités

Dans une série de courtes notes, Dirichlet (1841-1846) a étudié les unités dans des anneaux de nombres algébriques de la forme Z[ ], où vérifie une équation irréductible x ⁿ + a ¹x ^n-1 + ... + a ⁿ = 0 à coefficients a ⁱ entiers rationnels; si les racines de cette équation sont , ¹, ..., ^n-1 , les conjugués d’un élément f ( ) de Z[ ] sont f ( ¹), ..., f ( ^n-1 ), et sa norme est le produit Nf ( ) = f ( )f ( ¹) ... f ( ^n-1 ). Les unités de Z[ ] sont les éléments f ( ) de norme 梁 1 (la norme est toujours un entier rationnel, mais elle peut être négative dans ce cas général); parmi les unités, les racines de 1 qui appartiennent à Z[ ] sont caractérisées par |f ( )| = |f ( ¹)| = ... = |f ( ^n-1 )| = 1. En effet, si f ( ) vérifie ces conditions, il en est de même de ses puissances f ( )^k , k 捻 N, dont tous les conjugués restent donc bornés. Or l’ensemble des éléments de Z[ ] dont les conjugués sont tous majorés par une constante M est fini, car ces éléments sont les racines d’un nombre fini d’équations de degré n (leurs coefficients sont les fonctions symétriques élémentaires des conjugués, donc ce sont des entiers rationnels majorés en fonction de M et de n ); il n’y a donc qu’un nombre fini de puissances f ( )^k distinctes, et f ( )^l = 1 pour l convenable. Les racines de l appartenant à Z[ ] forment un groupe fini cyclique pour la multiplication; la finitude provient du résultat précédent, et le caractère cyclique du fait que, pour tout l , il y a au plus l solutions de l’équation x ^l = l dans C, donc dans Z[ ] (cf. GROUPES (mathématiques) - Généralités). L’énoncé fondamental de Dirichlet est le suivant:

Théorème. Soit r ¹ le nombre de racines réelles de l’équation en , et 2 r ² le nombre de ses racines imaginaires (de sorte que r ¹ + 2 r ² = n ). Il existe r = r ¹ + r ² 漣 1 unités fondamentales e ¹( ), e ²( ), ..., e ^r ( ) telles que toute unité s’écrive, d’une manière unique, sous la forme 諸e ¹( )^{n 1}e ²( )^{n 2} ... e ^r ( )^{n r} , où 諸 est une racine de 1 et où les exposants n ⁱ appartiennent à Z.

Autrement dit, le groupe multiplicatif des unités est le produit du groupe des racines de 1 par un groupe isomorphe à Z^r .

On démontre le théorème en utilisant le plongement logarithmique ainsi défini: on indexe les racines de l’équation en de manière que ¹, ², ..., ^{r 1} soient réelles et que ^{j +r 2} soit complexe conjugué de ^j pour r ¹ + 1 諒 j 諒 r ¹ + r ²; on note alors Le ( ) le vecteur (ln|e ( ⁱ )|) de R^{r 1+r 2} (1 諒 i 諒 r ¹ + r ²). Ainsi e ( ) 料 Le ( ) est un homomorphisme du groupe des unités dans R^{r 1+r 2}, et son noyau est le sous-groupe formé des racines de 1; l’image est un sous-groupe de R^{r 1+r 2}, et on aura démontré le théorème en prouvant que cette image est un groupe libre de rang r . Or l’image de L est discrète, car si Le ( ) reste borné, tous les conjugués de e ( ) sont majorés en valeur absolue par une constante et e ( ) ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs; on sait qu’un sous-groupe discret de R^s est libre de rang 諒 s (cf. algèbre TOPOLOGIQUE). En écrivant que la norme de e ( ) est 梁 1, on voit de plus que l’image de L est contenue dans l’hyperplan d’équation:

ce qui majore son rang par r ¹ + r ² 漣 1 = r ; cet hyperplan se projette isomorphiquement sur R^r , et on note 籠 la composée de L avec la projection. Il reste à voir que l’image de 籠 est de rang r , c’est-à-dire que l’orthogonal de cette image dans le dual de R^r est 0 (cf. algèbre LINÉAIRE ET MULTILINÉAIRE); on obtient ce résultat grâce au théorème de Minkowski (cf. approximations DIOPHANTIENNES), qui permet de prouver l’existence d’un élément non nul f ( ) de Z[ ] vérifiant les inégalités |f ( ⁱ )| 諒 ⁱ (1 諒 i 諒 n ), avec des nombres réels positifs ¹, ², ..., ⁿ tels que ^{j +r 2} = ^j pour r ¹ + 1 諒 j 諒 r ¹ + r ² et que le produit ^{1 2} ... ⁿ soit assez grand. Si f ( ) = a ⁰ + a ¹ + ... + a ^{n-1 n-1} , ces inégalités s’interprètent comme un système d’inégalités définies par des jauges de Minkowski sur l’espace R^{r 1} 憐 C^{r 2} 力 Rⁿ des vecteurs (a ⁰, a ¹, ..., a ^n-1 ); la matrice des jauges est ( ^{i j} )¹ size=1^諒i size=1^諒n,0 size=1^諒j size=1^{諒n -1}, et la condition d’existence de f ( ) est que ^{1 2} ... ⁿ soit plus grand que la valeur absolue | | du déterminant de cette matrice. L’élément f ( ) ainsi obtenu est de norme f ( ¹)f ( ²) ... f ( ⁿ ) au moins 1 en valeur absolue (entier non nul), ce qui donne |f ( ⁱ )| 閭 ⁱ /K pour i = 1, 2, ..., n , en posant K = ^{1 2} ... ⁿ . Soit 﨏 une forme linéaire non nulle sur R^r et x le vecteur de coordonnées (ln ¹, ln ², ..., ln ^r ); les inégalités obtenues donnent | 﨏(x ) 漣 﨏(face="EU Upmacr" 籠(f ( )))| 諒 瑩 﨏 瑩ln K (où 瑩 﨏 瑩 est la somme des valeurs absolues des coefficients de 﨏). On prend M 礪 瑩 﨏 瑩 ln K fixé, et, pour chaque entier h , on choisit ¹, ², ..., ^r de manière que 﨏(x ) = 2 Mh ; on peut alors trouver ^r+1 assez petit pour que 瑩 﨏 瑩ln ( ^{1 2} ... ⁿ ) 麗 M, et on a un élément f ^h ( ) correspondant dans Z[ ] qui vérifie (2 h 漣 1)M 麗 﨏(face="EU Upmacr" 籠(f ^h ( ))) 麗 (2 h + 1)M, de sorte que la suite ( 﨏 獵 籠(f ^h ( )))^h est strictement croissante. Par ailleurs, les normes Nf ^h ( ) restent majorées par K, donc f ^h ( ) divise un entier rationnel de l’intervalle fini [1, K]; on en déduit qu’il existe des indices h et l tels que f ^l ( ) = e ( )f ^h ( ), où e ( ) est une unité, et alors 﨏(face="EU Upmacr" 籠(e ( ))) = 﨏(face="EU Upmacr" 籠(f ( ))) 漣 﨏(face="EU Upmacr" 籠(f ^h ( ))) 0, comme on voulait.

Le groupe des unités n’est donc fini (et réduit aux racines de 1) que si r ¹ = 1 et r ² = 0, ce qui donne n = 1 et 捻 Z, ou bien si r ¹ = 0 et r ² = 1, ce qui donne n = 2; dans ce cas, on peut se ramener à = 連漣 D, avec D entier rationnel positif non divisible par 4, ou bien à = (1 + 連漣 D)/2, avec D 令 3 (mod 4). On a vu, par exemple, que le groupe des unités de Z[i ] est d’ordre 4, tandis que celui de Z[j ], j racine cubique de 1, est d’ordre 6 (théorie de Kummer pour = 3). Lorsque = 連D, avec D entier rationnel positif sans facteur carré, on a r ¹ = 2, r ² = 0 et le groupe des unités est de rang r = 1; toute unité s’écrit 梁 (T + U 連D)ⁿ , où n 捻 Z et où T + U 連D est une unité fondamentale . Cela revient à dire que l’équation de Pell x ² 漣 Dy ² = N(x + y 連D) = 梁 1 est résolue en posant x + y 連D = 梁 (T + U 連D)ⁿ , et on a donc démontré l’existence de solutions pour cette équation. Pour les entiers cyclotomiques, on a, avec les notations antérieures, r ¹ = 0 et r ² = ( 漣 1)/2 = 猪, donc le groupe des unités est de rang r = 猪 漣 1, qui est 閭 1 à partir de = 5; la difficulté de trouver des lois de réciprocité supérieures sur le modèle des lois pour les degrés 2, 3 et 4 est liée au caractère infini de ces groupes d’unités. Pour = 5, r = 1 et on peut prendre le nombre réel 見 + 見⁴ comme unité fondamentale; pour = 7, r = 2 et un système d’unités fondamentales (réelles) est donné par ( 見 + 見^-1, 見³ + 見^-3). Pour = 11, r = 4, et on a le système fondamental ( 見 + 見^-1, 見² + 見^-2, 見⁴ + 見^-4, 見³ + 見^-3). Dans le cas cyclotomique général, Kummer considère le sous-groupe du groupe des unités engendré par 梁 1, 見 et les unités (1 漣 見^j )/(1 漣 見), en prenant j = 塚ⁱ , 塚 racine primitive modulo et 1 諒 i 諒 猪 = ( 漣 1)/2; ce sous-groupe a le même rang r = 猪 漣 1 que le groupe des unités, et le quotient est donc d’ordre fini h ². En s’inspirant du travail de Dirichlet sur le nombre de classes de formes quadratiques (cf. théorie des NOMBRES -Théorie analytique des nombres), Kummer a donné une formule pour l’ordre h du groupe des classes de diviseurs des entiers cyclotomiques; il se sert d’une fonction analogue à la fonction zêta (cf. fonction ZÊTA):

(où A parcourt l’ensemble des diviseurs et P celui des diviseurs premiers) et de son comportement pour s1, et obtient h = h ¹h ², où le facteur h ², le plus difficile à calculer, a la signification ci-dessus; le facteur h ¹ est plus explicite:

avec P = | 﨏( 廓) 﨏( 廓³) 﨏( 廓⁵) ... 﨏( 廓 size=1^凞-2|, 廓 racine primitive ( 漣 1)-ième de 1, et 﨏 polynôme défini par 﨏(x ) = 1 + 塚¹x + 塚²x ² + ... + 塚 size=1^凞-2x size=1^凞-2, où 塚 est une racine primitive modulo et, pour chaque j , 塚^j est le reste de la division de 塚^j par. Kummer a calculé h ¹ pour tous les 麗 100; la première valeur de donnant h ¹ 1 est 23, pour lequel h ¹ = 3. La croissance de h ¹ est très rapide: il vaut 411 322 823 001 pour = 97 et est équivalent à size=1^猪/2+1/2 size=1^猪-1 神 size=1^猪 pour秊; les nombres premiers irréguliers sont ceux pour lesquels h est divisible par, et cela équivaut à dire que h ¹ est divisible par (Kummer a donné un critère simple à vérifier pour cette propriété, au moyen des nombres de Bernoulli).

4. Corps de nombres algébriques

Dedekind (1871, 1893) a étendu les théories précédentes en développant les notions de corps de nombres algébriques et d’entiers algébriques. Un corps de nombres algébriques est une extension finie du corps Q des nombres rationnels; un tel corps peut s’écrire K = Q( ), où vérifie une équation algébrique irréductible f (x ) = 0, de degré n , à coefficients rationnels (cf. CORPS mathématiques), et chacune des n racines complexes de f définit un plongement de K dans le corps C des nombres complexes. On note r ¹ le nombre des racines réelles, qui donnent des plongements de K dans R, et 2r ² le nombre de racines complexes (paires de racines complexes conjuguées); en tant qu’espace vectoriel sur Q, K est de dimension n , avec 1, , ², ..., ^n-1 comme base (division euclidienne; cf. POLYNÔMES). Si g ( ) 捻 K, on appelle conjugués de g ( ) les n nombres complexes g ( ¹), g ( ²), ..., g ( ⁿ ), où ¹, ², ..., ⁿ sont les racines de f (x ) = 0; ce sont tous des nombres algébriques.

Entiers algébriques

Parmi les nombres algébriques, les entiers algébriques sont définis de manière à former un anneau dont l’intersection avec Q soit réduite à Z; on veut de plus que tous les conjugués d’un entier algébrique (c’est-à-dire les racines de son équation minimale à coefficients rationnels) soient encore entiers. Alors les coefficients de l’équation minimale d’un entier algébrique sont des entiers algébriques rationnels, c’est-à-dire des éléments de Z; on définit donc les entiers algébriques comme les racines d’équations à coefficients entiers rationnels, avec un coefficient dominant 1 ^{[cf. ANNEAUX COMMUTATIFS]}, et il est facile de voir que l’équation minimale d’un tel nombre a encore ses coefficients entiers (donc les entiers algébriques rationnels sont bien les éléments de Z, ce qui généralise le résultat de Théétète cité au début). Pour étudier les entiers du corps K = Q( ), on peut supposer que est lui-même entier; si 福 = c ⁰ + c ¹ + ... + c ^{n-1 n-1} est entier, avec c ⁱ 捻 Q, on a, pour tous ses conjugués 福^j = c ⁰ + c ^{1 j} + ... + c ^{n-1 j n-1} . Les coefficients c ⁱ sont donc donnés par un système d’équations linéaires de matrice ( ^{i j} ) (0 諒 i 諒 n 漣 1; 1 諒 j 諒 n ); le déterminant de cette matrice est:

et on peut résoudre le système par les formules de Cramer qui montrent que l’entier rationnel ² est un dénominateur commun à tous les c ⁱ . Ainsi l’anneau face=F9828 o^K des entiers de K est contenu dans le Z-module libre de base ( ⁱ / ²)ⁱ et il est d’indice fini car il contient les ⁱ ; par suite, il est lui-même libre et a une base à n éléments ( 諸¹, 諸², ..., 諸ⁿ ). La matrice de passage d’une base à une autre appartient à GL (n , Z), et son déterminant vaut 梁 1; il en résulte que le déterminant de la matrice ( 諸^{j (i)} ), où on note 諸^{j (1)}, 諸^{j (2)}, ..., 諸^{j (n)} les conjugués de 諸^j , est défini au signe près par K. Le carré de ce déterminant est un entier rationnel d 0, que l’on appelle le discriminant de K; on a:

et il n’y a qu’un nombre fini de corps de discriminant donné (Hermite).

Par exemple, dans le corps Q(i ) (avec i ² = 漣 1), les entiers sont de la forme m + ni avec m , n rationnels tels que m + ni + m 漣 ni = 2 m et (m + ni )(m 漣 ni ) = m ² + n ² soient entiers; alors 4 m ² + 4 n ² est un entier, donc aussi 4 n ², et 2 n est encore entier. Enfin, la condition que (2 m )² + (2 n )² = 4 (m ² + n ²) soit divisible par 4 exige que 2 m et 2 n soient pairs, donc m et n sont entiers; les entiers de Q(i ) forment donc l’anneau des entiers de Gauss Z[i ], de base (1, i ). Le discriminant de Q(i ) est le carré du déterminant de la matrice:

soit (face=F0019 漣 2 i )² = 漣 4. Pour le corps Q(j ) (avec j ² + j + 1 = 0), les entiers sont m + nj , avec m + nj + m + nj ² = 2 m 漣 n et (m + nj )(m + nj ²) = m ² 漣 mn + n ² entiers, et on voit encore que cela exige m et n entiers; l’anneau des entiers est Z[j ], de base (1, j ), et le discriminant est (j ² 漣 j )² = 漣 3. Passons au cas du corps cyclotomique Q( 見), avec 見 size=1^凞-1 + 見 size=1^凞-2 + ... + 見 + 1 = 0, étant un nombre premier impair (on vient de traiter le cas = 3); si 福 = c ⁰ + c ¹ 見 + ... + c size=1^凞-2 見凞-2 est un entier de ce corps, on a:

et on voit que la somme des conjugués, ou trace , de ce nombre vaut c ⁰, car la trace de 見^j est 漣 1 pour 1 諒 j 諒 漣 1. Comme tous les conjugués (1 漣 見^j ) 福^j du premier membre sont divisibles par 1 漣 見, la trace c ⁰ l’est aussi; or c’est un entier rationnel: il est donc divisible par et c ⁰ est entier. On peut recommencer ce raisonnement avec 見^-1( 福 漣 c ⁰), qui est encore entier, et montrer que c ¹ est entier; en continuant, on voit que tous les c ⁱ sont entiers, et que l’anneau des entiers de Q( 見) est Z[ 見], avec comme base (1, 見 , ..., 見 size=1^凞-2). Le discriminant est le carré du déterminant de la matrice ( 見^ij ) (1 諒 i 諒 漣 1; 0 諒 j 諒 漣 2), soit:

en désignant par f le polynôme:

on a (x 漣 1)f (x ) = x size=1^凞 漣 1, donc f (x ) + (x 漣 1)f (x ) =x size=1^凞 size=1^漣1, ( 見 漣 1)f ( 見) =見 size=1^凞 size=1^漣1 et:

d’où, en définitive Nf ( 見) =凞-2 et d = (face=F0019 漣 1)⁽ size=1^凞 size=1^漣1)/2 size=1^凞 size=1^漣2.

À côté de la trace Tr f ( ) = f ( ¹) + f ( ²) + ... + f ( ⁿ ) d’un élément f ( ) de K, on définit sa norme Nf ( ) = f ( ¹)f ( ²) ... f ( ⁿ ); la trace et la norme sont des nombres rationnels, et ils sont entiers si f ( ) est entier. Les unités de K sont les entiers de K de norme 1; elles forment un groupe multiplicatif pour lequel le théorème de Dirichlet est applicable en toute généralité.

La théorie des idéaux

Dedekind a remplacé la considération des «nombres idéaux», que Kummer n’avait jamais définis comme objets mathématiques, par celle d’objets véritables, qu’il a appelés les idéaux du corps K. L’idée est de considérer, au lieu d’un diviseur A et de la congruence f ( ) 令 g ( ) (mod A) qu’il définit dans les entiers algébriques, l’ensemble face=F9828 a de ces entiers qui sont congrus à 0 modulo A, c’est-à-dire l’ensemble des entiers algébriques divisibles par A; Dedekind a pu caractériser les ensembles face=F9828 a d’entiers algébriques ainsi obtenus par les propriétés suivantes: si f ( ) et g ( ) appartiennent à face=F9828 a, il en est de même de f ( ) + g ( ); de plus, si f ( ) 捻 face=F9828 a et h ( ) 捻 face=F9828 o^K, alors f ( )h ( ) 捻 face=F9828 a. Autrement dit face=F9828 a est un idéal de l’anneau face=F9828 o^K des entiers de K ^{[cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES]}; en tant que sous-groupe additif de face=F9828 o^K, il est donc libre de rang 諒 n . Tout entier 福 捻 face=F9828 o^K définit un idéal principal ( 福), ensemble des 福靖, où 靖 parcourt face=F9828 o^K; si face=F9828 a est un idéal quelconque, dire que face=F9828 a divise 福, c’est-à-dire que 福 捻 face=F9828 a, revient donc à dire que ( 福) est contenu dans face=F9828 a. Le plus petit idéal contenant des entiers algébriques 福¹, 福², ..., 福^r joue le rôle de leur P.G.C.D., et on le note ( 福¹, 福², ..., 福^r ); c’est l’ensemble des combinaisons 福¹ 靖¹ + 福² 靖² + ... + 福^r 靖^r , où 靖¹, 靖², ..., 靖^r parcourent face=F9828 o^K. Tout idéal face=F9828 a peut s’écrire sous la forme ( 見¹, 見², ..., 見^r ) en prenant, par exemple, pour 見¹, 見², ..., 見^r les éléments d’une base de face=F9828 a; autrement dit, l’anneau face=F9828 o^K est nœthérien ^{[cf. ANNEAUX COMMUTATIFS]}. Le produit de deux idéaux face=F9828 a = ( 見¹, 見², ..., 見^r ) et face=F9828 b = ( 廓¹, 廓², ..., 廓^s ) est l’idéal engendré par les produits d’un élément de face=F9828 a et d’un élément de face=F9828 b, c’est-à-dire face=F9828 ab = ( 見ⁱ 廓^j ) (1 諒 i 諒 r , 1 諒 j 諒 s ); on dit que l’idéal face=F9828 a divise un idéal face=F9828 i s’il existe un idéal face=F9828 b tel que face=F9828 ab = face=F9828 i, et on écrit alors face=F9828 a| face=F9828 i. Un idéal premier face=F9828 p est un idéal différent de (1) = face=F9828 o^K et qui n’est pas divisible par un autre idéal que (1) et face=F9828 p.

Le fondement de la théorie de Dedekind est le fait que, pour tout idéal face=F9828 a, il existe un idéal face=F9828 b (0) tel que face=F9828 ab soit principal. On peut construire face=F9828 b en associant, à un système de générateurs 見¹, 見², ..., 見^r de face=F9828 a, le polynôme g (x ) = 見¹x + 見²x ² + ... 見^r x ^r et ses conjugués g ⁱ (x ) = 見¹⁽ⁱ⁾ x + ... + 見^{r (i)} x ^r ; le produit F = g ¹g ² ... g ^r de ces conjugués est un polynôme à coefficients entiers rationnels et il est divisible par g : F = gh , avec h (x ) = 廓¹x + 廓²x ² + ... + 廓^s x ^s polynôme à coefficients entiers algébriques. On pose face=F9828 b = ( 廓¹, 廓², ..., 廓^s ) et on montre que face=F9828 ab est l’idéal principal engendré par le P.G.C.D. des coefficients de F en utilisant une extension du lemme de Gauss aux polynômes à coefficients dans face=F9828 o^K : si un entier algébrique divise tous les coefficients d’un produit de deux polynômes g et h à coefficients dans face=F9828 o^K, il divise tous les produits d’un coefficient de g par un coefficient de h . On peut alors prouver que l’égalité face=F9828 ab = face=F9828 ai avec face=F9828 a (0) (face=F9828 a, face=F9828 b, face=F9828 i idéaux) implique face=F9828 b = face=F9828 i; en effet, en multipliant les deux membres de la première égalité par un idéal convenable on se ramène au cas où face=F9828 a est principal, qui est immédiat. Une autre propriété, qui revient essentiellement à dire que face=F9828 o^K est ce que l’on appelle maintenant un anneau de Dedekind ^{[cf. ANNEAUX COMMUTATIFS]}, est la suivante: pour qu’un idéal face=F9828 a divise un idéal face=F9828 i, il faut et il suffit que face=F9828 i soit contenu dans face=F9828 a; la condition est évidemment nécessaire, et elle est aussi suffisante, car face=F9828 i 說 face=F9828 a implique face=F9828 ib 說 face=F9828 ab pour tout idéal face=F9828 b, ce qui permet de se ramener au cas facile où face=F9828 a est principal. Ainsi l’idéal face=F9828 a + face=F9828 b engendré par deux idéaux face=F9828 a et face=F9828 b est aussi le plus grand idéal qui divise à la fois face=F9828 a et face=F9828 b (supposés non tous les deux nuls); en utilisant ce P.G.C.D. comme dans l’arithmétique élémentaire, on montre que si un idéal premier face=F9828 p divise un produit d’idéaux, il divise l’un des facteurs, et on en déduit que tout idéal non nul et distinct de (1) s’écrit, d’une manière unique, comme produit d’idéaux premiers.

Pour tout idéal non nul face=F9828 a, l’anneau quotient face=F9828 o^K/ face=F9828 a est fini; en effet, si 見 est un élément non nul de face=F9828 a, (N 見) 說 ( 見) 說 face=F9828 a, donc face=F9828 o^K/ face=F9828 a est un quotient de face=F9828 o^K/(N 見), qui est visiblement fini. La norme de face=F9828 a est, par définition, le nombre N face=F9828 a d’éléments de face=F9828 o^K/ face=F9828 a; lorsque face=F9828 a = ( 見) est principal, N face=F9828 a est la valeur absolue de N 見. Le théorème chinois signifie que la norme est multiplicative: N(face=F9828 ab) = N face=F9828 a 練 N face=F9828 b. Si face=F9828 p est un idéal premier, il divise au moins un entier rationnel (la norme d’un de ses éléments), donc, si face=F9828 p (0), il divise un nombre premier rationnel p ; alors N face=F9828 p divise Np = p ⁿ , et on a donc N face=F9828 p = p ^f , où f est un entier 諒 n , que l’on appelle le degré de face=F9828 p. L’anneau fini face=F9828 o^K/ face=F9828 p est intègre, donc c’est un corps à p ^f éléments. Pour tout 見 捻 face=F9828 o^K, 見^N face=F9828 size=1^p 令 見 (mod face=F9828 p) et, si 見^p 令 見 (mod face=F9828 p), 見 est congru modulo face=F9828 p à un entier rationnel. Dans le cas où le corps K = Q( ) est galoisien sur Q, c’est-à-dire que le polynôme minimal f (x ) de se décompose sur K en facteurs du premier degré (cf. CORPS (mathématiques)), les n plongements de K dans C ont la même image, que l’on peut identifier à K, et un idéal face=F9828 a de K donne n images face=F9828 a¹, face=F9828 a², ..., face=F9828 aⁿ qui sont les conjugués de face=F9828 a; le produit face=F9828 a¹ face=F9828 a² ... face=F9828 aⁿ est l’idéal principal de K engendré par N face=F9828 a. En particulier, la norme p ^f d’un idéal premier face=F9828 p est le produit des idéaux conjugués de face=F9828 p; les idéaux premiers divisant p sont donc conjugués de face=F9828 p, et si aucun d’eux ne divise p avec une multiplicité 閭 2, f divise n et il y a n /f conjugués distincts de face=F9828 p, chacun répété f fois.

Considérons par exemple un corps quadratique Q(face=F0019 連D), où D est un entier rationnel sans facteur carré; dans ce cas, = 連D est racine de f (x ) = x ² 漣 D = 0, dont les racines complexes sont 梁 連D. Le corps est galoisien, et les conjugués de x + y 連D sont les nombres x 梁 y 連D; la trace et la norme sont respectivement 2 x et x ² 漣 y ²D, et les entiers du corps sont caractérisés par le fait que ces deux nombres rationnels sont entiers. En raisonnant comme plus haut, on voit que cela signifie que x et y sont entiers si D 令 2 ou 3 (mod 4); mais, si D 令 1 (mod 4), cela signifie que x = u /2 et y = v /2, où u et v sont des entiers de même parité. Dans le premier cas, une base des entiers est (1, 連D), et le discriminant vaut 4 D, tandis que dans le second cas une base des entiers est (1, (1 + 連D)/2) et le discriminant est D. Soit p un nombre premier rationnel qui ne divise pas le discriminant d ; si p se décompose dans K, on a (p ) = face=F9828 pp où face=F9828 p et face=F9828 p sont des idéaux premiers de degré 1 conjugués l’un de l’autre, et tout entier de K est congru modulo face=F9828 p à un entier rationnel; on en déduit que D est congru modulo face=F9828 p (resp. modulo 4 face=F9828 p) à un carré, c’est-à-dire que le discriminant d est un carré modulo 4 face=F9828 p, donc aussi modulo 4 p . Inversement, si d 令 x ² (mod 4 p ), le nombre (x + 連d )/2 est un entier de K (sa trace est x et sa norme un multiple entier de p ) qui n’est pas divisible par p (sinon son conjugué (x 漣 連d )/2 le serait aussi, donc aussi 連d , et d serait divisible par p ²); comme p divise:

sans diviser aucun facteur, il n’est pas premier dans face=F9828 o^K, et il se décompose. Si maintenant q est un facteur premier impair de d , on vérifie que (q ) est le carré de l’idéal premier face=F9828 q = (q , (d + 連d )/2), qui est égal à son conjugué. Si enfin d est pair, on a 2 = (2, 連D)² si D 令 2 (mod 4) et 2 = (2, 1 + 連D)² si D 令 3 (mod 4). Comme d est toujours congru à 0 ou à 1 modulo 4, son caractère quadratique modulo 4 p est le même que modulo p si p 2; les nombres premiers rationnels se rangent donc en trois catégories:

1. Ceux qui ne divisent pas d et modulo lesquels d est un carré, qui se décomposent en produit de deux idéaux premiers distincts conjugués.

2. Ceux qui ne divisent pas d et modulo lesquels d n’est pas un carré, qui restent premiers dans K.

3. Ceux qui divisent d , qui sont des carrés d’idéaux premiers égaux à leur conjugué. (Pour p = 2, on teste le caractère de d mod 8.)

Cela généralise ce qu’on avait observé pour Q(i ). Dedekind a démontré un résultat plus général, qui englobe aussi les résultats de Kummer sur la décomposition des nombres premiers rationnels dans les corps cyclotomiques: si K = Q( ) est un corps de nombres algébriques engendré par un entier algébrique d’équation minimale f ( ) = 0 et si p est un nombre premier qui ne divise pas l’indice C( ) = (face=F9828 o^K : Z[ ]), à une décomposition modulo p :

de f (x ) en produit de polynômes irréductibles Pⁱ (distincts modulo p ) correspond une décomposition:

en produit d’idéaux premiers face=F9828 pⁱ distincts, les multiplicités e ⁱ étant les mêmes. Pour chaque i , on dit que e ⁱ est l’indice de ramification de face=F9828 pⁱ et, en considérant la norme Np = p ⁿ de p , on voit que:

où les f ⁱ sont les degrés des face=F9828 pⁱ . Malheureusement, il y a des cas où on ne peut pas obtenir la décomposition de p par le résultat précédent (lorsque p divise C( ) quel que soit le choix de ). Les idéaux premiers ramifiés face=F9828 p, c’est-à-dire ceux qui divisent un nombre premier rationnel p avec un indice de ramification e 閭 2, sont les diviseurs d’un idéal face=F9828 d^K bien déterminé, dont la norme est |d |; on appelle face=F9828 d^K la différente de K.

Idéaux fractionnaires; classes d’idéaux

On appelle idéal fractionnaire de K un sous- face=F9828 o^K-module non nul face=F9828 a de K tel qu’il existe un entier non nul 嗀 vérifiant 嗀 face=F9828 a 說 face=F9828 o^K; alors face=F9828 a est engendré, comme face=F9828 o^K-module, par un nombre fini d’éléments de K. Les idéaux fractionnaires forment un groupe pour la multiplication, avec (1) = face=F9828 o^K comme élément unité; c’est un groupe commutatif libre avec comme base l’ensemble des idéaux premiers.

Dedekind définit l’équivalence des idéaux face=F9828 a et face=F9828 b par l’existence d’un même idéal face=F9828 i (0) tel que face=F9828 ai et face=F9828 bi soient tous deux principaux; il revient au même de dire que l’idéal fractionnaire quotient face=F9828 ab^-1 est principal. Autrement dit, le groupe des classes d’idéaux est le groupe quotient du groupe des idéaux fractionnaires par le sous-groupe des idéaux fractionnaires principaux (c’est-à-dire engendrés par un seul élément). Par une méthode analogue à celle de Kummer, Dedekind montre, dans le cas général, que le groupe des classes d’idéaux est fini; en utilisant la fonction:

et son comportement pour s1, il établit un lien remarquable entre le nombre h des classes d’idéaux et la «densité» des idéaux (cf. fonction ZÊTA).

Par ailleurs, Dedekind a montré que la classification des formes quadratiques binaires développée par Gauss était essentiellement équivalente à celle des idéaux du corps quadratique de même discriminant; la loi de groupe définie par Gauss au moyen de la composition des formes sur l’ensemble des classes de formes quadratiques de discriminant donné correspond à celle du groupe des classes d’idéaux.

5. Corps de classes

La difficile théorie du corps de classes tire son origine de plusieurs résultats établis au cours du XIX^e siècle. Nous avons vu que Gauss avait associé, à tout nombre premier impair p , une somme:

corps des racines p -ièmes de 1, dont le carré est (face=F0019 漣 1)^(p size=1^漣1)/2p ; le sous-corps de Q(r ) engendré par la somme de Gauss est donc isomorphe au corps quadratique Q(face=F0019 連(face=F0019 漣 1)^(p size=1^{漣 1)/2}p ). Kronecker a obtenu une vaste généralisation de ce résultat (la démonstration complète est due à Weber): tout corps K de nombres algébriques dont le groupe de Galois sur Q est commutatif se plonge dans un corps cyclotomique. La théorie de la multiplication complexe des fonctions elliptiques a ensuite conduit Kronecker à formuler une conjecture analogue pour les corps de nombres algébriques K contenant un corps quadratique imaginaire k et tel que le groupe de Galois G(K/k ) soit commutatif («rêve de jeunesse de Kronecker», 1857); dans cette conjecture, qui n’a été complètement démontrée qu’en 1920, les fonctions elliptiques admettant de la multiplication complexe par certains entiers de k jouent le rôle que jouait l’exponentielle imaginaire pour les racines de 1.

En étendant la théorie de Kummer aux corps cyclotomiques Q( 見) = K, où 見 est une racine m -ième de 1, m entier quelconque, on constate que la décomposition d’un nombre premier rationnel p qui ne divise pas md (d discriminant de K) ne dépend que de l’ordre f de p modulo m : p se décompose en e = 﨏(m )/f facteurs premiers idéaux distincts de degré f dans K, où 﨏 (m ) est l’indicateur d’Euler ^{[cf. DIVISIBILITÉ]}. En particulier, si p 令 1 (mod m ), c’est le produit de 﨏(m ) idéaux premiers de degré 1; au moyen de la fonction 﨣^K, on peut montrer que l’ensemble des idéaux premiers de degré 1 de K est infini, et il en résulte qu’il y a une infinité de nombres premiers dans la progression arithmétique de raison m qui contient 1 (cf. théorie des NOMBRES - Théorie analytique des nombres). Weber a essayé de généraliser ce genre de considérations en remplaçant Q par un corps de nombres algébriques k et m par un idéal face=F9828 m; il considère le groupe A face=F9828 size=1^m des idéaux fractionnaires de k premiers à face=F9828 m et un sous-groupe H face=F9828 size=1^m d’indice fini h formé d’idéaux principaux dans A face=F9828 size=1^m. Il fait alors les hypothèses suivantes:

a ) Les idéaux entiers de k sont «également distribués» dans les classes de A face=F9828 size=1^m/H face=F9828 size=1^m (comme ils le sont dans les classes d’idéaux habituelles).

b ) Il existe une extension K de k de degré 諒 h telle que les idéaux premiers de H face=F9828 size=1^m de degré 1 se décomposent complètement dans K (c’est-à-dire en produit d’idéaux distincts tous de degré 1); l’extension K s’appelle un corps de classes pour k .

Weber montre alors que chaque classe de A face=F9828 size=1^m/H face=F9828 size=1^m contient une infinité d’idéaux du premier degré. Dans le cas où k = Q, on peut prendre pour H face=F9828 size=1^m le groupe des idéaux engendré par un nombre congru à 1 modulo m ; dans ce cas, Weber a aussi établi que le groupe de Galois de Q( 﨣^m ) = K sur Q s’identifie à A face=F9828 size=1^m/H face=F9828 size=1^m ( 﨣^m racine m -ième de 1), et qu’à chaque sous-groupe H face=F9828 size=1^m 念 H face=F9828 size=1^m correspond un corps de classes K 說 Q( 﨣^m ) de groupe de Galois A face=F9828 size=1^m/H face=F9828 size=1^m. Dans le cas général, en supposant l’existence du corps de classes K, Weber a seulement démontré que son degré sur k est égal à h et qu’il est galoisien sur k . Revenant au cas particulier k = Q, si L est une extension abélienne quelconque de Q, elle se plonge dans un corps Q( 﨣^m ) (théorème de Kronecker-Weber) et correspond donc à un groupe d’idéaux principaux H ^m , tel que H^m 說 H ^m 說 A^m et que Gal(L/Q) 力 A^m /H ^m ; l’entier m n’est pas unique, mais il admet une valeur minimale dont toutes les autres sont des multiples (le conducteur de L). Weber a encore formulé des conjectures qui étendent ces énoncés au cas où Q est remplacé par un corps de nombres algébriques k .

Hilbert a abordé la théorie du corps de classes d’un autre point de vue, à partir de la théorie des formes quadratiques, et il est parvenu à construire certains corps de classes, correspondant au groupe de classes d’idéaux A/H⁺, où A est le groupe des idéaux fractionnaires d’un corps de nombres algébriques k et H⁺ le groupe des idéaux principaux engendré par des entiers de k qui sont positifs dans tous les plongements réels de k . Le corps de classes de Hilbert est unique, et son groupe de Galois sur k est A/H⁺; dans ce corps, tous les idéaux de face=F9828 o^k deviennent principaux.

Frobenius (1896) a introduit un objet important dans la théorie du corps de classes: l’automorphisme de Frobenius, ainsi construit. On considère une extension galoisienne finie K de Q et un idéal premier face=F9828 p de K, divisant un nombre premier rationnel p et non ramifié; alors le sous-groupe Z(face=F9828 p) du groupe de Galois Gal (K/Q) formé des automorphismes de K qui laissent face=F9828 p invariant («groupe de décomposition») s’identifie au groupe de Galois du corps résiduel face=F9828 o^K/ face=F9828 p sur Z/(p ). À l’élévation à la puissance p -ième, qui est un automorphisme de face=F9828 o^K/ face=F9828 p, correspond donc un élément ((K/Q)/ face=F9828 p) de Z(face=F9828 p), qui est par définition l’automorphisme de Frobenius; pour 靖 捻 Gal (K/Q) quelconque, ((K/Q)/( 靖 face=F9828 p)) est conjugué de ((K/Q)/ face=F9828 p) sous l’action de 靖. Comme les idéaux premiers de K qui divisent p sont tous conjugués, les automorphismes de Frobenius qui leur correspondent appartiennent à une même classe de conjugaison dans Gal (K/Q), et en particulier ils sont égaux si ce dernier groupe est commutatif. face="EU Caron" アebotarëv (1925) a pu montrer que, pour toute classe de conjugaison à m éléments dans Gal (K/Q), la densité des nombres premiers p qui donnent des automorphismes de Frobenius appartenant à cette classe est m /n , où n = (K : Q) est le degré de K. La loi de réciprocité d’Artin (1927; la formulation d’Artin vaut en fait pour un corps de base k général, et pas seulement pour Q) signifie que, pour une extension abélienne L de Q, l’automorphisme de Frobenius ((L/Q)/p ) correspondant à un nombre premier p est l’identité exactement dans le cas où p appartient au sous-groupe H ^m correspondant (où m est le conducteur de L).

6. Idèles et adèles

Dans ses recherches sur les formes quadratiques à coefficients dans un corps de nombres algébriques k , en vue d’étendre un résultat de Minkowski, Hilbert avait été conduit à considérer simultanément des congruences modulo les puissances des idéaux premiers du corps, et les équations correspondantes dans R ou dans C, provenant des divers plongements de k ; il appelait place de k un idéal premier de k , ou bien un plongement de k dans R ou dans C, ces dernières places étant qualifiées de «places à l’infini». Takagi (1920), dans ses démonstrations des conjectures de Weber en théorie du corps de classes, a modifié la notion de diviseur telle que nous l’avons introduite plus haut, de manière à inclure les places à l’infini: selon Takagi, un diviseur est un symbole face=F9828 m = face=F9828 p^{1n 1} face=F9828 p^{2n 2} ... face=F9828 p^{r n r} , avec n ⁱ 捻 N, les face=F9828 pⁱ étant des places finies (= idéaux premiers) ou non. Dans les diviseurs fractionnaires, on admet des exposants n ⁱ négatifs, et on a ainsi un groupe multiplicatif; à un diviseur entier face=F9828 m, on associe le groupe A face=F9828 size=1^m des diviseurs fractionnaires premiers à face=F9828 m, et le sous-groupe H face=F9828 m des diviseurs principaux congrus à 1 modulo face=F9828 m, c’est-à-dire congrus à 1 modulo face=F9828 p^{i n i} pour tout i tel que face=F9828 pⁱ soit un idéal premier, et d’image positive pour toute place à l’infini réelle face=F9828 pⁱ . Les groupes de classes d’idéaux de Weber sont alors remplacés par les groupes de classes de diviseurs A face=F9828 size=1^m/H face=F9828 size=1^m et leurs quotients de la forme A face=F9828 size=1^m/H face=F9828 size=1^m 練 ^K/k (A face=F9828 size=1^m(K)), où K est une extension galoisienne finie de k , A face=F9828 size=1^m(K) est le groupe des diviseurs fractionnaires de K premiers à face=F9828 m, et ^K/k est la «norme relative»; si l’ordre du groupe quotient précédent est égal au degré (K : k ), K est un corps de classes au sens de Takagi, et son groupe de Galois sur k est isomorphe à ce quotient. Toute extension abélienne de k est un corps de classes pour un certain diviseur face=F9828 m, que l’on peut choisir minimal (le «conducteur» de K).

Une théorie analogue, mais beaucoup plus simple, a été développée par Hasse (1929-1930), en considérant, au lieu du corps de nombres algébriques k son complété k face=F9828 size=1^p pour la valuation associée à l’idéal premier face=F9828 p; ce corps k face=F9828 size=1^p est une extension finie du corps p -adique Q^p , où p est le nombre premier que face=F9828 p divise (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques), et il a des propriétés analogues: son anneau face=F9828 op des entiers, éléments de valuation 閭 0, est principal et il a un seul idéal premier non nul, engendré par face=F9828 p. La théorie du corps de classes local de Hasse établit une correspondance bijective entre les sous-groupes d’indice fini H du groupe multiplicatif de k face=F9828 size=1^p et les extensions abéliennes finies K face=F9828 size=1^p de k face=F9828 size=1^p (ce sont aussi des corps locaux, extensions finies de Q^p , et on note face=F9828 P l’unique idéal premier non nul); pour une telle extension, H est l’image du groupe multiplicatif de K face=F9828 size=1^p par la norme relative ^K face=F9828 size=1^p/k face=F9828 size=1^p. Les démonstrations de Hasse étaient fondées sur la théorie «globale» de Takagi, mais Chevalley (1933) est parvenu à un exposé autonome de la théorie locale. Il eut ensuite l’idée de récupérer la théorie globale à partir de la théorie locale (1936-1940), en remplaçant les diviseurs de Takagi par les idèles . Un idèle de k est un élément ( 﨡 face=F9828 size=1^p) face=F9828 size=1^p du produit des groupes multiplicatifs de tous les complétés k face=F9828 size=1^p de k , face=F9828 p variant dans l’ensemble de toutes les places, y compris les places à l’infini; pour ces dernières, le complété est R si la place est réelle, et C si la place est imaginaire (d’après un théorème d’Ostrowski (1935), toutes les valeurs absolues possibles sur k sont équivalentes à l’une de celles qui sont définies par les places; cf. algèbre TOPOLOGIQUE). On impose, de plus, que v face=F9828 size=1^p( 﨡 face=F9828 size=1^p) = 0 sauf pour un nombre fini de places finies face=F9828 p, en notant v face=F9828 size=1^p la valuation correspondante; l’ensemble I(k ) des idèles de k est un sous-groupe du produit:

des groupes multiplicatifs. Le groupe multiplicatif k ^x de k se plonge dans I(k ), chaque 﨡 捻 k donnant pour image l’idèle ( 﨡 face=F9828 size=1^p) tel que 﨡 face=F9828 size=1^p = 﨡 pour toute place face=F9828 p; on a un homomorphisme de I(k ) sur le groupe des idéaux fractionnaires de k , qui transforme l’idèle ( 﨡 face=F9828 size=1^p) en l’idéal:

(produit étendu aux places finies). Le noyau de cet homomorphisme est l’ensemble U(k ) des idèles ( 﨡 face=F9828 size=1^p) tels que 﨡 face=F9828 size=1^p soit une unité de k face=F9828 size=1^p (élément de valuation 0) pour toute place finie face=F9828 p; il en résulte que le groupe des classes d’idéaux est isomorphe au quotient I(k )/k ^x U(k ). Lorsque K est une extension abélienne finie de k , Chevalley définit un homomorphisme de norme ^K/k : I(K)I(k ) en combinant les normes relatives locales; à tout idèle a, il associe un symbole (a, K/k ) 捻 Gal (K/k ), égal au symbole d’Artin:

où face=F9828 a est l’idéal associé à un idèle a 捻 k ^x a et congru à 1 modulo le conducteur de K. La loi de réciprocité d’Artin signifie que les idèles a tels que (a, K/k ) soit l’identité sont les éléments de k ^x 練 ^K/k (I(K)), de sorte que Gal (K/k ) est isomorphe à I(k )/k ^x 練 ^K/k (I(K)).

La théorie multiplicative des idèles doit être complétée par une théorie additive, celle des adèles , introduits par A. Weil: un adèle de k est un élément ( 﨡 face=F9828 size=1^p) face=F9828 size=1^p du produit:

tel que v face=F9828 size=1^p( 﨡 face=F9828 size=1^p) 閭 0 sauf pour un nombre fini de places finies face=F9828 p. L’ensemble A(k ) des adèles est un sous-anneau du produit:

dont I(k ) est le groupe multiplicatif des éléments inversibles; on plonge le corps k dans A(k ) comme k ^x dans I(k ). En plus de ces structures algébriques, A(k ) a une topologie localement compacte, compatible avec sa structure d’anneau, et qui provient du fait que chaque face=F9828 op est un anneau compact , donc le produit:

est aussi compact (théorème de Tychonoff; cf. TOPOLOGIE GÉNÉRALE); pour obtenir A(k ), on remplace un nombre fini de facteurs face=F9828 op par le corps localement compact k face=F9828 size=1^p et on ajoute un nombre fini de facteurs égaux à R ou à C. La topologie induite sur I(k ) n’est pas compatible avec la structure de groupe, et on doit la remplacer par la topologie du graphe de l’application a 料 a^-1 (a 捻 I(k )), considéré comme sous-espace de A(k ) 憐 A(k ). Les résultats essentiels concernant ces topologies sont les suivants: l’image de k (resp. k ^x ) dans A(k ) (resp. I(k )) est discrète et le quotient A(k )/k (resp. I(k )/k ^x ) est compact ; de ces résultats, on peut déduire sans peine la finitude du nombre de classes d’idéaux et le théorème des unités de Dirichlet. D’une manière plus générale, on peut associer, à tout groupe algébrique linéaire G ^{[cf. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE]} défini sur le corps k , un groupe localement compact G^A, adélisé de G, construit comme I(k ) à partir du groupe multiplicatif; Tamagawa et A. Weil ont montré que, dans le cas d’un groupe semi-simple, le groupe G^k des points rationnels sur k de G se plonge dans G^A comme sous-groupe discret et que l’espace homogène quotient G^A/G^k est de volume fini pour une mesure semi-invariante. Le calcul de ce volume, par exemple pour le cas où G est le groupe orthogonal associé à une forme quadratique, est équivalent aux résultats de Siegel sur le nombre de représentations d’une forme quadratique à coefficients entiers par un genre donné de formes (cf. formes QUADRATIQUES).

Encyclopédie Universelle. 2012.